קיצור תולדות האלגברה, חלק ג'.

קיצור תולדות האלגברה, חלק ג'.

המתמטיקאי, הביולוג והאסטרונום הצרפתי בן המאה ה-18 פייר-לואי מופרטואי גיבש את אחת התובנות החשובות ביותר בהיסטוריית המדע.[1] לפני שהפך למדען היה חייל. הוא למד בפריז וב-בזל יחד עם יוהאן ברנולי. ב-1741 הפך לחבר באקדמיה למדעים של ברלין, ושלוש שנים מאוחר יותר קבע את עקרון הפעולה המינימלית. הוא קיווה כי העיקרון יוכל לאחד את חוקי היקום ויוכיח את קיומו של האל.

ה"פעולה" של עקרון הפעולה המינימלית היא השם שנתנו הפיזיקאים לגופים הנמדדים במונחים של שינוי עקב תנועה במסלול והמומנטום, בהתייחס למסה, למהירות ולמרחק שעבר החלקיק. עקרון הפעולה המינימלית גורס כי הטבע הוא "עצלן", דהיינו פועל לשמור את הכמות הזאת במינימום. הייתה לכך השפעה גדולה על מכניקת הקוונטים, אולם הדוגמה הפשוטה ביותר של עקרון הפעולה המינימלית היא תנועת קרני האור, אשר תמיד נעות בקו ישר.[2] גם המתמטיקאי והפיזיקאי השווייצרי לאונרד אוילר פיתח במאה ה-18 את עקרון הפעולה המינימלית, מה שהוביל בהמשך לפיתוחים של המתמטיקאי והאסטרונום האיטלקי בן המאות ה-18 וה-19 ז'וזף-לואי לגראנז', אשר סיפק בתורו את הבסיס למודל המתמטי של עולם הקוונטים במאה ה-20.

לגראנז' נולד בטורינו בשם ג'וזפה לודוביקו לגראנג'ה וחי בה את חייו המוקדמים. הוא החליף את אוילר כאשר עזב השוויצרי את ברלין לטובת סנקט פטרבורג ב-1776, והעביר בה 20 שנים יצרניות מאוד. ב-1786 עבר לצרפת, בה קיבל את השם ז'וזף-לואי לגראנז'. הוא הצטיין בכל תחומי האנליזה ותורת המספרים, כמו גם מכניקה אנליטית ומכניקה שמימית.[3] לגראנז' היה מתמטיקאי כישרוני יותר מ-מופרטואי ופיתח אספקטים של הפעולה המינימלית עם בסיס מתמטי יסודי יותר.

לאונרד אוילר מוכר כאחד המתמטיקאים הגדולים ביותר בהיסטוריה. הוא בהחלט היה בעל מספר הפרסומים הרב ביותר, שני אולי רק למתמטיקאי היהודי ההונגרי בן המאה ה-20 פאול ארדש. ארדש התעניין רבות בקומבינטוריקה, תורת המספרים ותורת הגרפים, ותרומתו לתחום המתמטיקה הייתה אדירה. אולם בסופו של דבר, היה ארדש פותר בעיות, לא יוצר תאוריות מדעיות.[4] במאה ה-18 הייתה כמובן הקהילה המתמטית קטנה יותר מאשר היא כיום, וללא ספק לא היה זה פשוט אפילו עבור המלומד המוכשר ביותר לשלוט במגוון כה רחב של תחומים מתמטיים כפי שהוא כיום, באופן שעשה זאת אוילר בתקופתו, אולם עדיין היו הישגיו חשובים ביותר.

אוילר נולד ב-בזל, והקריירה שלו הייתה קשורה רבות למשפחת ברנולי שממנה יצאו מספר מתמטיקאים חשובים. הוא סיים את לימודיו בהצטיינות מאוניברסיטת בזל, וקיבל תפקיד באקדמיה למדעים של סנקט פטרבורג, אשר הוקמה לאחרונה על ידי הצאר פיוטר הגדול במטרה לקדם את המודרניזציה של האימפריה הרוסית. הוא קביל את ההזמנה של מלך פרוסיה פרידריך השני להצטרף לאקדמיה למדעים של ברלין, אשר הוקמה בהמלצתו של גוטפריד וילהלם לייבניץ. ב-1776, כאמור, חזר לרוסיה, הפעם בהזמנתה של הקיסרית יקטרינה השנייה, ששלטונה סימל בעצם את החזרה ל-התמערבות. הוא תרם לרוב ענפי המתימטיקה שהיו קיימים בתקופתו, כגון הידראוליקה, בניית אוניות וארטילריה, אולם יותר מהכל הקדיש את עצמו לאסטרונומיה. חוברות המחקר היוקרתיות שלו הסדירו סופית שאלות רבות בתחום הסימון בחשבון האינפיניטסימלי (קלקולוס) ואלגברה. לגראנז', כמו גם פייר-סימון לפלס הצרפתי וקרל פרידריך גאוס הגרמני, השתמשו רבות בעבודות של אוילר, וכך קרוב לוודאי גם ברנהרד רימן הגרמני. אוילר המשיך לכתוב מאמרים ומכתבים עד יום מותו הפתאומי ב-1783, אותם הקדיש לבניו ועמיתיו.

אולם אפילו כמות הפרסומים האדירה לא הייתה ההישג המתמטי החשוב ביותר של אוילר. הגאונות שלו הצליחה להעניק תרומה לכל הענפים המתמטיים של תקופתו, למעט תורת ההסתברות. הוא קידם רבות את תורת המספרים, ייתכן כי ייסד למעשה את תורת הגרפים ואת הבקומבינטוריקה, זאת לאחר שהצליח לפתור ב-1736 את "בעיית הגשרים של קניגסברג". הוא תרם למשוואה דיפרנציאלית הרגילה והחלקית, לחשבון וריאציות ולגאומטריה הדיפרנציאלית. תנועת מַסַּת נְקֻדָּה, מכניקה שמימית, מכניקת הרצף - מכניקת המוצק, הידרודינמיקה, הידראוליקה, אלסטיות, מכניקה של גוף קשיח ודינמיקה - בליסטיקה, אקוסטיקה, תורת התנודות ואופטיקה, כל אלו קיבלו תרומה משמעותית מאוילר. בזמן שבטהובן לא נדרש לשמוע בכדי לייצר מוזיקה יוצאת מן הכלל, אוילר לא נדרש לראות בכדי לייצר מתימטיקה שכן עם הזמן הוא הפך לעיוור, אך הדבר רק העלה את הפרודוקטיביות שלו היות ולא היו לו עתה הסחות דעת אקדמיות כגון בדיקת עבודות. מעבר לכך, היה לו זיכרון יוצא מן הכלל.[5]

הגברים שיצרו היסטורית את המתימטיקה היו לעתים קרובות מאוד צעירים. אווריסט גלואה הצרפתי נהרג מפצעי דו קרב בגיל 20 במחצית הראשונה של המאה ה-19, אולם הוא לא עזב את העולם הזה ללא מורשת חשובה שהשאיר להיסטוריה של המתימטיקה. ב-1830 הוא פיתח את תורת החבורות, אשר הייתה בעלת חשיבות עליונה בפיתוח מכניקת הקוונטים במאה שלאחר מכן. בן זמנו, המתמטיקאי החלוצי הנורבגי נילס הנריק אָבֶּל מת בגיל 26 ב-1829. הוא אומנם סבל משחפת, אולם גם כאשר החלה בריאותו להתדרדר עדיין המשיך לפתח מתימטיקה איכותית.

אָבֶּל הוכיח כי לא ניתן לפתור משוואה ממעלה חמישית באמצעות רדיקלים, בעיה שהטרידה את המתמטיקאים עוד מתקופת רפאל בומבלי ופרנסואה וייט. הוא קיבל מלגה אשר אפשרה לו לטייל בגרמניה, איטליה וצרפת. עם זאת, הוא לא הצליח לצאת מהעוני או למצוא משרה התואמת את כישוריו, ונפטר זמן קצר לאחר שחזר לנורבגיה. מחקרו בדבר פונקציה אליפטית הושלם במסגרת תחרות קצרה אך חשובה עם קרל גוסטב יעקב יעקובי. כבר קרל פרידריך גאוס מצא בהערות הפרטיות שלו כי הפיכת אינטגרל אליפטי מובילה לפונקציה חד-ערכית, בעלת שני מחזורים, אולם הוא מעולם לא פרסם את מסקנותיו. אדריאן-מארי לז'נדר עסק רבות באינטגרל האליפטי, אולם פספס נקודה זו, ובזקנתו התרשם מאוד לטובה מאָבֶּל הצעיר.[6]

לז'נדר עצמו היה מתמטיקאי צרפתי בן המאות ה-18 וה-19 ואחד המובילים בעולם, ותרם רבות למדעי המתימטיקה. במספר מקרים היו אלו מתמטיקאים אחרים אשר שדרגו את עבודתו לרמה גבוהה עוד יותר, לרבות אָבֶּל, גלואה ו-יעקובי. קרל גוסטב יעקב יעקובי היה מתמטיקאי גרמני-פרוסי יהודי בן המחצית הראשונה של המאה ה-19 אשר נולד בפוטסדאם ולימד מתמטיקה באוניברסיטת ברלין, כמו גם יוונית ולטינית.[7] בעת ביקורו בפריז ב-1829 הוא פגש את לז'נדר, כמו גם מתמטיקאים צרפתיים אחרים כגון ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה, וכן ביקר את גאוס ב-גטינגן. הוא הפך למורה יוצא מן הכלל ותרם רבות לתורת הפונקציה האליפטית.

המתמטיקאי והאסטרונום האירי סר ויליאם רואן המילטון חי את כל חייו בדבלין, וכבר בגיל 5 ידע לקרוא יוונית, לטינית ועברית, ובהמשך חייו למד שפות רבות נוספות. ב-1822 כה מתקדמות כבר היו יכולותיו המתמטיות שהוא מצא טעות חמורה בחיבורו האדיר של פייר-סימון לפלס - מכניקה שמימית Mécanique Céleste)). ב-1843 הוא המציא את אלגברת הקווטרניונים המפורסמת שלו, אלגברה עם מספרים היפר-מרוכבים, והאלגברה הלא קומוטטיבית הראשונה שנלמדה.[8] הוא תרם רבות לתחום האופטיקה, ומכניקת ההמילטוניאן עזרה לעצב את מכניקת הקוונטים במאה ה-20.

עקרון הפעולה המינימלית של פייר-לואי מופרטואי עזר לפתוח דף חדש במחקר. עקרון הווריאציה שלו קיבל שדרוג מתמטי על ידי המילטון, והשינויים שלו למשוואות לגראנז' עברו שינוי והכללה בידי יעקובי למה שהפך ב-1837 למשוואת המילטון-יעקובי. המשוואה הזאת יושמה בהצלחה במכניקת הקוונטים של לואי דה ברויי ב-1923 וארווין שרדינגר ב-1926.[9]

[1] https://www.britannica.com/biography/Pierre-Louis-Moreau-de-Maupertuis

[2] John Gribbin, The Scientists: A History of Science Told Through the Lives of Its Greatest Inventors, Random House, 2019, p. 292.

[3] https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lagrange/

[4] https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Erdos/

[5] John L. Heilbron (ed.), The Oxford Guide to the History of Physics and Astronomy, Oxford University Press, 2005, pp. 110-1.

[6]Dirk J. Struik, A Concise History of Mathematics: Fourth Revised Edition, Dover Publications, 1987.

[7] https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Jacobi/

[8] https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hamilton/

[9]John L. Heilbron (ed.), The Oxford Guide to the History of Physics and Astronomy, Oxford University Press, 2005, p. 211.

ז'וזף-לואי לגראנז'

לאונרד אוילר

אווריסט גלואה

נילס הנריק אָבֶּל

אדריאן-מארי לז'נדר

קרל גוסטב יעקב יעקובי

סר ויליאם רואן המילטון

פייר-לואי מופרטואי