קיצור תולדות האלגברה, חלק ב'.

קיצור תולדות האלגברה, חלק ב'.
במאה ה-14 התרחשו מהפכות רבות בתחום המסחר ועשירים רבים יכלו לרכוש את שירותיהם של סוכנים אשר טיילו עבורם, מה שהוביל לעליה של חברות מסחר בינלאומיות עם מרכזים בערים הגדולות. החברות הללו דרשו מתמטיקה מתקדמת היות ועסקו עתה בתחומים חדשים: מכתבי אשראי, שטרות חליפין, שטרות חוב וחישובי ריבית. פותחה הנהלת חשבונות כפולה בכדי לעקוב אחר כלל העסקאות הללו. מהצורך הזה הופיעו בעלי מקצוע חדשים - maestri d’abbaco - חשבונאים. סוחרים וחשבונאים איטלקיים היו אחראים ללימוד האירופאים של מערכת המספרים הפוזיציונלית העשרונית של הספרות ההודיות.
לוקה פאצ'ולי בן המאות ה-15 וה-16 היה אחד החשבונאים האחרונים. הוא היה נזיר פרנציסקני אשר לימד מתמטיקה במקומות רבים באיטליה. הוא אסף חומרים במשך 20 שנים, וב-1494 פרסם את Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita - "סיכום אריתמטיקה, גיאומטריה, פרופורציות ומידתיות" - הטקסט המתמטי המקיף ביותר באירופה עד לאותו הזמן. לא היו כאן אומנם חידושים רבים, אך האופי המקיף שלו הפכו את החיבור לנפוץ מאוד בכל היבשת. הוא גם היה מקורב לדמויות כגון לאונה בטיסטה אלברטי ולאונרדו דה וינצ'י.
ניקולו פונטנה טרטליה בן המאה ה-16 היה מתמטיקאי אוטודידקט. הוא היה מורה למתמטיקה בוינציה, וכתב על יישומים מתמטיים בירי הארטילריה, והיה חלוץ במדע הבליסטיקה. ב-1535 גילה שיטה כללית לפתרון משוואות ממעלה שלישית.
ג'ירולמו קרדאנו בן המאה ה-16 היה רופא ומרצה למתמטיקה במילאן, וב-1539 יצר קשר עם טרטליה בבקשה כי יפרסם את ממצאיו. טרטליה סירב תחילה, אולם הסכים לאחר מכן לסמוך על קרדאנו, בתנאי שלא יפרסם זאת לציבור הרחב היות ותכנן לעשות זאת בעצמו בהמשך. קרדאנו החל לעבוד על בעיות המשוואות ממעלה שלישית, וקיבל עזרה מעוזרו לודוביקו פרארי הכישרוני. במהלך השנים הוא פיתח פתרונות לסוגים השונים של המשוואות, ואפילו פתר משוואה ממעלה רביעית. הוא שקק לפרסם את הממצאים חרף ההבטחות לטרטליה, וב-1545 פרסם את Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis Liber Unus - "ספר מספר אחת על האומנות הגדולה, או חוקי האלגברה". חרף העובדה שהעניק לו את כל הקרדיט הרלוונטי, טרטליה זעם. פרסומו של קרדאנו כלל מספר רב של פריצות דרך נוספות, כגון הבנה סולידית של השימוש במספרים שליליים. הספר היה כה משפיע שאף קיבל את הכינוי "הספר הראשון של המתמטיקה המודרנית".
רפאל בומבלי בן המאה ה-16 היה מתמטיקאי איטלקי שקיבל הכשרה כמהנדס ועסק רוב חייו בפרויקטים הנדסיים. הוא חקר את העבודות של קרדאנו, עשה שימוש חופשי במספרים שליליים והיה האדם הראשון לכתוב את הכללים עבור חיבור, חיסור וכפל של מספרים מרוכבים. סימון אלגברי החל להחליף בהדרגה את החישובים המילוליים של המוסלמים, ובומבלי תרם רבות לתהליך זה ולרנסנס האיטלקי ככלל.
ההומניסט האיטלקי פדריקו קומאדינו בן המאה ה-16 למד יוונית ולטינית והעביר שנים רבות בהפקת תרגומים משופרים וטובים יותר עם פרשנויות של ארכימדס, תלמי (קלאודיוס פתולמאיוס), אריסטרכוס מסאמוס, אפולוניוס מפרגה, פאפוס מאלכסנדריה, אוקלידס, ו-הרון מאלכסנדריה. הוא תרם רבות להישרדותם של הטקסטים הללו שאחרת היו אולי הולכים לאיבוד, והוא נחקרו לאחר מכן בידי מלומדים אירופאים לא מעטים. רבים מהתרגומים מימי הביניים היו פגומים מבחינה לשונית ולא נחקרו בידי מתמטיקאים כגון קרדאנו.
פאפוס מאלכסנדריה בן המאה ה-4 לסה"נ היה מומחה לגיאומטריה היווני האחרון המוכר. הוא פעל במצרים, כנראה כמורה, והקובץ שלו אודות המתמטיקה - "סינאגוגה" ("האוסף") - לא היה אומנם מאוד מקורי אך חשוב מכיוון שהוא שימר חלק מהכתבים המתמטיים של היוונים. "האוסף" הפך למוכר בין המתמטיקאים האירופאים לאחר 1588 כאשר עותק מתרגומו הלטיני של קומאדינו הודפס באיטליה.[1] במשך מעל למאה שנים מאוחר יותר שימשו העקרונות והשיטות הגאומטריות של פאפוס לפיתוחים מתמטיים חדשים. ניתן למצוא את השפעתו הרבה אצל רנה דקארט, פייר דה פרמה, אייזק ניוטון וכן רבים אחרים.
הדוגמאות הללו לא משאירות אומנם ספק כי הייתה איטליה האומה המובילה של אירופה בתקופת הרנסנס בכל הקשור למדעים ומתמטיקה, אולם חשוב לזכור כי גם צפונית יותר התרחשו פיתוחים רבים. רוברט רקורד בן המאה ה-16 היה פיזיקאי ומתמטיקאי וולשי אשר סיים את לימודיו באוקספורד, ואשר היה הראשון לפרסם מחקרים מתמטיים בבריטניה של תקופת הרנסנס. פרסומו "האבן המושחזת של ויטה" מ-1557 היה הראשון להציג את סימן השוויון ("=").
המתמטיקאי והמהנדס הפלמי סיימון סטווין בן המאות ה-16 וה-17 הוביל לשינוי תודעתי במתמטיקה עם סימונים לשברים העשירוניים ובכך שביטל את ההבדלה האריסטוטלית בין מספר ל-גודל. השיטה העשרונית לא הייתה בשימושם של האירופאים לפני כן לעומת הסינים והמוסלמים, וסטווין עשה זאת עם פרסומו De Thiende - אמנות העשיריות מ-1585. המלומד הסקוטי ג'ון נפייר ואחרים לקחו את המסלים שלו והפכו אותם למה שאנחנו מכירים כיום. באותה השנה פרסם סטווין בצרפתית גם את ה-L'arithmétique, אשר עזר לקדם את האלגברה והאריתמטיקה.
סטווין הפך למנהל חשבונות ב-אנטוורפן, ובשנות ה-70 של המאה ה-16 טייל בפולין, פרוסיה, נורבגיה ואזורים אחרים בצפון אירופה. הוא נכנס לאוניברסיטת ליידן, היה ליועצו של מאוריץ נסיך אורנז', והיה אחראי לספק לאומה ההולנדית את הצורך העולה שלה במהנדסים, סוחרים ונווטים, תוך שהוא כותב בהולנדית במקום הלטינית המסורתית. הוא הושפע רבות מארכימדס, כתב עבודות על מכניקה, וכנראה שהיה מייסד מדע ההידרוסטטיקה. ב-1586, עוד לפני גלילאו, לאחר ניסויים במגדל כנסייה ב-דלפט, דיווח כי משקלים שונים נופלים מרחק מסוים באותו הזמן.
בעולם האסלאמי הייתה האלגברה רטורית לחלוטין, ללא סימנים עבור הלא ידוע. הכל נכתב במילים. במאה ה-15 החלו כמה חשבונאים איטלקיים להשתמש בסימני קיצרו עבור הלא ידוע. החידושים התפשטו מהר יותר לאזורים האחרים, במיוחד לאחר המצאת הדפוס.
המתמטיקאי הצרפתי הגאון פרנסואה וייט בן המאה ה-16 היה עורך דין במקצועו,[2][3] ופיתח את השימוש השיטתי הראשון של כתב אלגברי. חרף העובדה כי היה מתמטיקאי ואסטרונום חובבן, את הסימון האלגברי השיטתי הראשון פיתח בחיבורו החשוב "In artem analyticem isagoge" - "מבוא לאמנות הניתוח". הוא עסק גם בפיענוח קודים. הוא הראה את הערך שיש לסמלים בכדי לסמן כמויות. הצעד הקריטי אשר אפשר לאותיות להחליף קבוע מתמטי אפשר לו להתנתק מהסגנון של קודמיו. הוא יכול היה לעסוק עתה גם בדוגמאות כלליות ולתת נוסחאות במקום כללים. הוא לא היה הראשון להשתמש באותיות אלף בית בכדי לסמן ספרות, אבל היה זה הוא אשר הפך את הקונספט לפופולרי בסוף המאה ה-16.
עומר ח'יאם הפרסי בן המאות ה-11 וה-12 הבחין אומנם בקשר שבין אלגברה לגאומטריה, אולם פריצת הדרך האמתית הגיעה עם דקארט ו-פרמה בצרפת. גם פרמה היה משפטן ועסק במתמטיקה כתחביב בלבד. את מחקריו המתמטיים העביר לחבריו בצורה של מכתבים. הוא ידע שפות רבות, לרבות יוונית ולטינית, ותרם רבות לתחומי אופטיקה גאומטרית, תורת המספרים המודרנית, תורת ההסתברות וגאומטריה אנליטית. פרמה היה אחראי גם למחקר הראשון בתחום תורת המספרים מאז פיבונאצ'י. דקארט, יחד עם אלבר ז'יראר ותומאס הריוט, הפכו כמה מרעיונות האלגברה של וייט לתורת המשוואות. בלז פסקל, יחד עם ג'רארד דסארג'ס, קידמו את תחום הגאומטריה הפרויקטיבית.[4]
בהערות ל-"אריתמטיקה" של דיופנטוס, טען פרמה כי מצא משפט מתמטי יפה אשר הפך להיות מוכר כ"המשפט האחרון של פרמה". במשך מאות שנים המתמטיקאים התקשו עימו, עד שב-1995 המתמטיקאי הבריטי אנדרו ויילס הוכיח את נכונות המשפט, אם כי ישנם היסטוריונים של המתמטיקה המטילים ספק אם אכן הייתה לפרמה את ההוכחה המתמטית כפי שהתיימר.[5]
הפילוסוף והמתמטיקאי הצרפתי בן המאה ה-17 רנה דקארט היה ללא ספק אחת הדמויות החשובות ביותר במהפכה המדעית. הוא למד מקצועות קלאסיים, אריסטו ומתימטיקה במכללה ישועית ב-אנז'ו, כמו גם משחק, שירה, רכיבה וסייף. הוא התקבל לבית ספר צבאי, טייל והגיע להולנד, היכן שהיה לו חופש מחשבתי ללא הגבלות דתיות פוטנציאליות מצד הקתוליות. הוא תרם רבות לתחום האופטיקה והמטאורולוגיה וכן פיתח שיטה אוניברסלית של דדוקציה על בסיס המתימטיקה.
וייט השתמש בתנועה עבור הלא ידוע, ובעיצור עבור כמויות ידועות. דקארט פיתח את המוסכמה שלנו כיום לפיה משתמשים באותיות הראשונות של האלף בית בכדי להציג כמויות ידועות, ואותיות בסוף האלף בית בכדי לסמן את הלא ידוע, כגון ה-x. הוא יצר את מערכת הצירים הקרטזית עם צירים המסומנים ב-x, y, ו-z בכדי להציג מיקום בדו או תלת ממד. בהמשך זה התרחב וכלל גם מספרים שליליים. ניתן היה לקשר עתה את האלגברה עם הגאומטריה, התפתחות אשר היו לה השלכות אפילו על תורת היחסות של איינשטיין.
ניתן למצוא מקורות לכמה מרעיונות הגאומטריה האנליטית אצל איש האשכולות הצרפתי בן המאה ה-14 ניקולה אורסמה, אולם מחקריו לא קישרו בין האלגברה והגאומטריה. היוונים העתיקים כגון היפרכוס ותלמי השתמשו בקואורדינטות באסטרונומיה וגאוגרפיה, אולם ההיסטוריונים נוטים להעניק לדקארט ופרמה את הקרדיט על המצאת הגאומטריה האנליטית. מסורתית, קיבלה האלגברה יחס נפרד מהגאומטריה, מסורת אשר החלה להתפורר עם המחקרים של וייט במאה ה-16 המאוחרת, מה שהובל למעשה למחקרים של פרמה ודקארט.
את ספרוLa Géométrie  ("הגאומטריה") החל לפרסם דקארט ב-1637 כנספח בשלושה חלקים לחיבורו החשוב מאוד Discours de la méthode ("מאמר על המתודה"), השיטה הפילוסופית למציאת הידע הנכון והאמתי. פרמה מעולם לא פרסם את העבודות שלו שכן בעיקר שלח את מחקריו כמכתבים פרטיים למספר קולגות, והללו הפכו למוכרים בציבור רק ב-1679, 14 שנים לאחר מותו. שניהם הם היו מתמטיקאים יוצאי דופן חרף העובדה כי לא היו כאלו במקצועם. פרמה היה משפטן שעסק בכך בתחביב ומוכר מאוד בזכות תורת המספרים. הוא גם גילה את הרעיונות הבסיסיים של חשבון דיפרנציאלי עוד לפני אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ. דקארט תרם גם למדעים אחרים בנוסף למתימטיקה, אולם הוא היה בעיקר פילוסוף אשר השפיע בצורה אדירה על האופן בו רואים האנשים המלומדים את העולם. שניהם קידמו למעשה את שיטות האלגברה שלהם בכדי לפתור בעיות של הגאומטריה היוונית הקלאסית לאחר שהבינו את הפוטנציאל הגדול של השיטות החדשות הללו, ובכך השפיעו באופן כביר על הממשיכים שלהם בעשרות השנים שבאו לאחר מכן. דקארט אף הצהיר כי מטרתו היא לספק שיטות כלליות בכדי לפתור בעזרת האלגברה "כל בעיה גאומטרית".[6]
בלז פסקל הצרפתי בן המאה ה-17 עסק בפילוסופיה של הטבע והתאולוגיה, וכן היה מתמטיקאי כישרוני אשר תרם לתחום עם רעיונות רבים.[7] הוא נהג לדון רבות עם דקארט, והשניים התווכחו רבות אודות ה-ואקום - היעדרו של כל דבר - דבר בו דקארט לא האמין. בעזרת ה-ברומטר שהומצא לאחרונה על ידי תלמידו של גלילאו אוונג'ליסטה טוריצ'לי, הבחין פסקל ב-1648 כי הלחץ האטמוספירי יורד עם הגובה והגיע למסקנה כי הואקום אכן קיים מעל לאטמוספירה. בתחום המתימטיקה הוא מוכר כאחד המייסדים של תורת ההסתברות, ענף מתמטי בעל חשיבות אקוטית לכלכלה והפיזיקה המודרניות. ב-1654 הוא התכתב עם פרמה לגבי בעיות הקשורות למשחק הקוביות. בהמשך הוא הפך לאדם מאוד דתי, וציין כי אין מה להפסיד במידה ומאמינים באל לא קיים, אך יש הרבה מה להפסיד במקרה ההפוך.
האסטרונום ההולנדי בן המאה ה-17 כריסטיאן הויגנס למד רבות ממחקרי ההסתברות של פסקל ופרמה, וב-1657 פרסם את מחקרו הקטן אך החשוב De Ratiociniis in Ludo Aleae - "היקש במשחקי מזל" - על תחשיב ההסתברויות, אשר הפך לטקסט המודפס הראשון בתחום זה.
אברהם דה מואבר בן המאות ה-17 וה-18 היה פרוטסטנטי שנאלץ לעזוב את צרפת הקתולית לאחר ביטול האדיקט של נאנט ב-1865. הוא הפך לחלק מהחברה המלכותית בלונדון, ולמקורב של ניוטון ו-אדמונד האלי. מחקרו הגדול "תורת הסיכויים" פורסם לראשונה ב-1718, ושתי מהדורות מורחבות יותר פורסמו ב-1738 ו-1756. עבודה זו בדקה את ההסתברות בצורה מפורטת יותר מאשר הויגנס, זאת עקב ההתקדמות האירופאית האדירה בתחום המתימטיקה במהלך שנים אלו. דה מואבר מספק לא רק חוקים כלליים, אלא גם את שיטות היישום שלהם.
הגילוי שניתן לחשב חוסר וודאות שינה את היכולת האנושית להשיג ולנהל מידע. בתחום המדעים, הוביל הדבר לא רק לניתוח סטטיסטי שבלעדיו המדע והטכנולוגיה המודרניים לא יכולים היו להתקיים, אלא גם לחשיפה של תחומים אותם ניתן להבין רק במונחים של הסתברות, כגון מכניקת הקוונטים. בתחום הכלכלה, זה אפשר לנתח את המציאות לא רק במנוחים של "כן או לא", אלא גם כמספרים מדויקים, מה שמאפשר ניהול סיכונים הנדרש לכלכלה המודרנית.[8]
[1] https://www.britannica.com/biography/Pappus-of-Alexandria
[2] https://math.berkeley.edu/~robin/Viete/index.html

[3] https://web.archive.org/web/20110608215949/http://www.gap-system.org/~history/Mathematicians/Viete.html
[4] Victor J. Katz, A History of Mathematics: An Introduction, Addison Wesley, 1998.
[5] https://mathworld.wolfram.com/FermatsLastTheorem.html
[6] Marvin J. Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, W. H. Freeman, 2007.
[7] https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Pascal/
[8] Charles Murray, Human Accomplishment: The Pursuit of Excellence in the Arts and Sciences, 800 B.C. to 1950, Harper Perennial, 2004.