קיצור תולדות האלגברה והאפס, חלק א'.

קיצור תולדות האלגברה והאפס, חלק א'.

דיופנטוס מאלכסנדריה מכונה לעתים קרובות "אבי האלגברה". הוא פעל במצרים הרומית במאה ה-3 לסה"נ וכנראה שהיה יווני במוצאו, אם כי לא ניתן לדעת בוודאות. קובץ חיבוריו המתמטי שנקרא "אריתמטיקה" הושלם כנראה סביב שנת 250. אוסף החיבורים הזה היה פורץ דרך אדיר בהיסטוריית האלגברה ותורת המספרים, יחד עם מה שקיבל את השם "משוואה דיופנטית".
היחס המקצועי והכישרוני שלה כלפי מערכת המשוואות מראה שהאלגברה העתיקה של בבל ואולי גם הודו לא רק ששרדה תחת השגחתה של הציוויליזציה היוונית, אלא אף שופרה ושודרגה. לא ברור מתי וכיצד זה נעשה, כפי שגם ידוע מעט מאוד על דיופנטוס עצמו, אשר אולי אף היה בבלי הלניסטי. דיופנטוס מציג את השימוש השיטתי הראשון בסימוני אלגברה. היה לו סימון מיוחד עבור הלא ידוע, למינוס ולמספר ההופכי. כאן התפתח הרבה מעבר לשאלות החשבוניות מהסוג המוגדר של האלגברה של בבל, לרבות סימון אלגברי אשר היה יעיל במיוחד בפתרון בעיות הרבה יותר מתקדמות.[1]
אלגברה בסיסית הייתה ידועה למצרים הקדמונים, לבבלים של מסופוטמיה באלף השני לפנה"ס, לסינים, להודים ולתרבויות אחרות. יחד עם זאת, למעט עבודתו של דיופנטוס ומספר מלומדים של מזרח אסיה, הודו והמזרח התיכון של ימי הביניים, עד לתקופת הרנסנס האירופאי לא הייתה התקדמות משמעותית בחקר האלגברה במשך אלפי שנים, ורק לאחריו נולדה למעשה האלגברה המודרנית. הפתרונות למשוואות ליניאריות או משוואה ממעלה שנייה היו אומנם ידועים לבבלים, אולם הפתרון למשוואה ממעלה שלישית הגיע רק לאחר הרנסנס באיטליה.
במשך 3000 שנה, היוונים, ההודים, הסינים, הפרסים, היהודים והנוצרים לא עשו הרבה מעבר מאשר להציג את הגרסאות שלהם לפתרונות למשוואות ליניאריות ומשוואות ממעלה שנייה, אשר היו כבר כאמור ידועות לבבלים. דוגמאות לכך ניתן למצוא אצל דיופנטוס, בהאסקארה, צ'יה הסיאן, אל-ח'ואריזמי, לוי בן גרשום, ו-פיבונאצ'י. אולם ההיסטוריה של האלגברה היא נסתרת יותר, עם שינויים קטנים המצטברים לאט עם הזמן. היה צורך בפיתוחים נוספים לפני פריצת הדרך הגדולה: עצמאות מגאומטריה, זהויות פולינומיות, יכולת הוכחה על ידי אינדוקציה ועוד.[2]
בהאסקארה השני היה מתמטיקאי ואסטרונום הודי חשוב במאה ה-12. צ'יה הסיאן הסיני גילה באמצע המאה ה-11 את מה ש-בלז פסקל גילה באופן עצמאי בצרפת מאות שנים מאוחר יותר - "משולש פסקל". מחקרו שימש גם מתמטיקאים סינים חשובים אחרים כגון צ'ו שי-צ'יה בן המאות ה-13 וה-14. משולש פסקל הוא דוגמה להמצאה וגילוי סיני מקורי אשר נותר במקומו, בזמן שזכה לפיתוחים וקידומים טכנולוגיים ומדעיים אדירים רק מאוחר יותר במערב.
לוי בן גרשום היה רב יהודי, פילוסוף ואסטרונום בן המאה ה-14 אשר חי את כל חייו בדרום צרפת וזכה לכבוד גדול מהקהילה הנוצרית. מכשיר המדידה המוכר שלו, אשר קיבל את השם "מטה יעקב", היה פופולרי מאוד בקרב הימאים לצורכי ניווט, אך גם דומה למכשיר אחר אשר היה בשימוש בסין כבר כמה מאות שנים קודם לכן. לא ברור האם היה זה ידע שהגיע מהמזרח הרחוק לאורך דרכי המסחר, או המצאה אירופאית עצמאית.
ניתן לטעון כי המתמטיקאי החשוב ביותר שאי פעם חי בעולם האסלאמי היה הפרסי מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי בן המאה ה-9. הוא או אבותיו הגיעו מ-ח'ווארזם, אזור דרומית לימת אראל שכיום חלק מאוזבקיסטן וטורקמניסטן. חרף העובדה כי לא היה ערבי ואולי אף נולד במרכז אסיה, העביר את מרבית חייו כמלומד בבגדד, היכן שעסק בשילוב השיטות היווניות והבבליות. ה"אלגברה" של אל-ח'ואריזמי לא כללה לא משוואות ולא סימוני אלגברה, אלא רק צורות גיאומטריות ופרוזה ערבית, ושום סטודנט למתמטיקה במאה ה-21 לא יזהה זאת כ"אלגברה".[3] ההישג שלו היה ביישום הגאומטריה האוקלידית לשם פתרון בעיות אשר כיום יוגדרו במושגי האלגברה, לרבות משוואה ממעלה שנייה. החיבור הזה הסתובב במערב אירופה ותרם שם להתפתחותה של אלגברה סמלית אמתית.
לצד אל-ח'ואריזמי, אולי המתמטיקאי הכישרוני ביותר שחי במזרח התיכון היה פרסי נוסף, המלומד והמשורר בשם עומר ח'יאם בן המאות ה-11 וה-12. ח'יאם קיבל את הכינוי "משורר הספקנות",[4] שכן הוא בהחלט לא היה מוסלמי סטנדרטי ואף נהנה לשתות יין. הוא הרכיב טבלאות אסטרונומיות וביצע רפורמות בלוח השנה הפרסי לאחר שצירף רעיונות שלקח מלוח השנה ההודי. התוצאה הייתה לוח שנה טוב יותר מהלוח היוליאני והוא אף התקרב בדיוק ללוח השנה הגרגוריאני. ח'יאם היה הראשון לפתור מספר משוואות ממעלה שלישית, והראשון לראות שקילות בין אלגברה וגאומטריה, אולם לא הייתה בעולם האסלאמי שום התקדמות מעבר לכך.
מקור שיטת הספירה והצגת המספרים כפי שאנחנו מכירים זאת כיום נמצא בהודו בתקופה שלאחר התקופה הרומית. המספרים הללו הגיעו למערב אירופה דרך המזרח התיכון ועל כן קיבלו את השם השגוי "ספרות ערביות", וגם הערבים עצמם לא מכחישים כי לקחו את השיטה והמספרים מההודים. ניתן אומנם לקרוא להם גם "ספרות הודיות-ערביות", אולם המונח המדויק ביותר יהיה "ספרות הודיות".
ציוויליזציית המאיה במסו-אמריקה פיתחה מערכת מספרים פוזיציונלית עם מספר אפס לא מאוחר יותר מההודים, אולם מערכת זו לא השפיעה על שום מקום אחר בעולם. ייתכן אף כי המאיה היו הראשונים בהיסטוריה לפתח את האפס.[5] זה לא מופיע אומנם בטקסטים של הפוסט-אולמקים ששרדו, אך נפוץ מאוד בכתבים של המאיה. האפס נראה בספר של המאיה בן המאה ה-11 הנקרא "קודקס דרזדן" במספור כרונולוגי לצד מספרים אחרים. במקרים מסוימים מופיע בצורה של צדפות וצבוע באדום, בזמן שבמקרים אחרים כמו שלושה רבעים של צלב מלטה.
האצטקים, אשר שלטו במרכז אמריקה מהמאה ה-14, השתמשו בסמלי ידיים, לב וחצים בכדי לסמן מרחקים כאשר חישבו אזורים. המתמטיקה של מסו-אמריקה, בעיקר של המאיה, היא ההישג המדעי היחידי שקדם להגעתם של האירופאים אותו ניתן להשוות לעולם הישן, אולם עדיין ההתפתחויות המרכזיות בתחום התרחשו באזורי אירואסיה, ונראה כי ריכזו המאיה את מירב המאמצים שלהם בתחום האסטרונומיה הפלנטרית.
האפס יכול לשמש כאינדיקטור למקום ריק, למשל ש-101 שונה מ-11. הבבלים השתמשו במערכת מספרים פוזיציונלית כזאת, אולם עם ספירה על בסיס סקסגסימלי - ספירה על בסיס 60. השימוש השני באפס הוא כמספר כפי שאנחנו מכירים כיום. יש היסטוריונים המאמינים כי האפס של ההודים הייתה המצאה שהתבססה על פיתוח מוקדם עוד יותר של אסטרונומים יווניים. מקורם של סמלי תשעת הספרות הראשונות כפי אנחנו משתמשים בהן כיום נמצא בכתבי בראהמי של הודו, אשר חוזרים לכל הפחות לאלף השלישי לפנה"ס. עם זאת, יש כאן פחות עדויות למערכת פוזיציונלית.
לסינים הייתה מערכת הכפלה על בסיס 10, אשר מקורו כנראה בלוח ספירה סיני - לוח משבצות עם שורות ועמודות.[6] המספרים הוצגו כמקלות קטנות של במבוק או שנהב. כלי החשבונייה הופיע בסין סביב המאה ה-14. סביב שנת 600 לסה"נ או לפני כן הפסיקו ההודים להשתמש במספרים העולים על 9 והחלו להשתמש במספרים 1-9 לפי המערכת הפוזיציונלית המוכרת לנו. לא ידוע מדוע החליטו ההודים לוותר על מערכת ההכפלה שלהם לטובת המערכת הפוזיציונלית, לרבות סימן האפס. יש היסטוריונים הטוענים כי גם המקורות האמתיים של המערכת ההודית נמצאים בלוח הספירה הסיני. הלוחות הללו היו ניידים והסוחרים הסיניים הביאו אותם למסחר בהודו. ייתכן כי ההודים התרשמו לטובה מרעיון 9 הספרות, ורק השתמשו בסמלים שלהם. הם אף שיפרו את המערכת הסינית בכך שספרו את המקלות בעזרת אותם הסימנים עבור כל המערכת הפוזיציונלית. מכיוון שהיה צורך לרשום את המספרים, במקום להשתמש בלוחות הספירה השתמשו בסמלים, בהתחלה נקודה ואחר כך עיגול, בכדי לסמל את העמודה הריקה בלוח הספירה. במידה ותאוריה זו הינה נכונה, היה זה אירוני שבתמורה הביאו המדענים ההודיים את השיטה החדשה לסינים עצמם בתחילת המאה ה-8.[7]
מערכת המספרים הפוזיציונלית העשרונית עבור מספרים שלמים הייתה קיימת בוודאות בהודו של המאה ה-8, ואולי אף קודם לכן. בזמן שבסין היה שימוש בשברים עשרוניים, אין לכך כל עדות מוקדמת מהודו. היו אלו המוסלמים אשר השלימו את מערכת המספרים הפוזיציונלית העשרונית הכתובה של ההודים בכך שהכניסו גם את השברים העשרוניים.
יש עדויות לכך שידע יווני אסטרונומי קדם-תלמי הועבר להודו, אפשר כי באמצעות דרכי המסחר הרומיות. העבודות ההודיות המוקדמות ביותר הכוללות טריגונומטריה מגיעות רק מהמאה ה-5 לסה"נ. תקופת ממלכת גופטה בין המאות ה-4 וה-7 הייתה תור הזהב של התרבות ההודית, לרבות פריחה של ספרות ואמנות. האסטרונומים יצרו סדרה של חוברות בשם "פתרונות" המתארות את המדע האסטרונומי ותנועת כוכבי הלכת באמצעות התיאוריות היווניות. יצירה בשם "אריאבהטה" של האסטרונום והמתמטיקאי ההודי המפורסם אריאבהטה משנת 499 סיכמה למעשה את כל הידע של המתימטיקה ההודית עד לשלב זה, לרבות אלגברה, אריתמטיקה, וסוגים של טריגונומטריה כגון טריגונומטריה ספירית. אסטרונום הודי חשוב נוסף והכישרוני ביותר בתקופתו היה בראהמגופטה בן המאה ה-7, אשר קידם אלגוריתמים עבור שורש ריבועי והפתרון עבור משוואה ממעלה שנייה.
בשנת 773 ביקר מלומד הודי בחצרו של אל-מנסור בבגדד והביא עימו טקסטים אסטרונומיים, ייתכן מאוד כי את ה-בראהמספהוטסידהאנטה של בראהמגופטה. הח'ליף נתן פקודה לתרגם את הספר לערבית, מה שהפך להיות הטקסט המוקדם ביותר שעסק בספרות ההודיות, "ספר על חיבור וחיסור לפי שיטת ההודים" של אל-ח'ואריזמי. לא השתמרו שום קטעים מהספר בשפתו המקורית, אלא רק מספר גרסאות בלטינית מאירופה של המאה ה-12. אל-ח'ואריזמי לקח את תשעת הסימנים בכדי לסמן את תשעת המספרים הראשונים ואת העיגול בכדי לסמן את האפס. הוא הראה כיצד להשתמש במספרים אלו בעזרת מערכות מספרים פוזיציונליות. הוא תיאר את האלגוריתם לחיבור, חיסור, כפל, חלוקה ועוד, וקביעת שורש ריבועי.
אחד הטקסטים הלטיניים מתחיל עם צמד המילים "דיקסיט אלגוריסמי", כלומר "אל-ח'ואריזמי אומר". דרך אי הבנה מסוימת הפך "אלגוריסמי" לתיאור פעולות חשבוניות והמקור למילה "אלגוריתם". מספר חיבורי סנסקריט הגיעו לאירופה דווקא דרך השפה העברית, והמילה "זירו" מגיעה מהמילה "סיפר", שהייתה תרגום ערבי ל"סוניה" - סנסקריט ל"ריק". גם sine מקורו בסנסקריט. חשוב לזכור כי הסימן המיוחד לאפס מקורו ב-בראהמספהוטסידהאנטה של בראהמגופטה ופותח גם על ידי אריאבהטה.
אברהם אבן עזרא היה רב יהודי שחי בספרד, פילוסוף ופרשן מקראי אשר ברח מספרד לפני 1140 עקב הרדיפות של היהודים בידי המוסלמים. הוא כתב שלוש מסכתות אשר הביאו את הסמלים ההודיים לתשומת לבם של מלומדים אירופאיים, אולם זה לקח עוד זמן מה עד אשר החלה היבשת להשתמש בספרות ההודיות.
לאונרדו מפיזה בן המאות ה-12 וה-13, המוכר בשם פיבונאצ'י, היה המתמטיקאי הגדול המערבי הראשון מאז שקיעתה של התרבות היוונית העתיקה. בנו של סוחר עם קשרים בצפון אפריקה הוא נהג לטייל באזור. חיבורו המוכר ביותר היה "ספר החשבונייה" – "ליבר אבצ'י" מהמילה "אבקוס" - אשר פורסם לראשונה ב-1202 ושוב בגרסה מעודכנת ב-1228. הוא הגיע למלומדים אירופאים רבים וקבע כללים אשר עזרו להסתדר עם הספרות ההודיות החדשות. הוא השתמש אומנם בדוגמאות מהכתבים הערביים, אולם היו החידושים פרי הגיוניות שלו עצמו. הייתה אומנם תחילה התנגדות רבה לספרות החדשות, אך עם הזמן הן הפכו למקובלות במהלך הרנסנס, בעיקר בקרב הסוחרים שכן היו להן יותר מדי יתרונות נוחות.
האלגברה האירופאית של תקופה זו, כמו זו האסלאמית, לא עסקה במספרים שליליים, זאת לעומת השימוש הנפוץ בהם בהודו וסין לצורכי פתרון בעיות מתמטיות. התחום המתמטי המתקדם הייחודי לאירופה בשלב זה שלא היה קיים במקומות אחרים היה מגוון הנושאים הקשורים לתנועה, ורק באירופה פיתחו את החישובים המתמטיים של המהירות והתאוצה, דבר שעזר לפתח תחום אחד של חשבון אינפיניטסימלי (קלקולוס) שלוש מאות שנים מאוחר יותר. ככלל, היו ארבעת התרבויות יחסית ברות השוואה בתחילת המאה ה-14, עם כמובן טכניקות ייחודיות לכל אחת.
מדוע אם כך התפתחה לבסוף המתמטיקה המודרנית דווקא באירופה? בעולם האסלאמי הוגדרו מדעי המתמטיקה ופילוסופיית הטבע כמדעים זרים שאליהם יש להתייחס בחשדנות, והם לא שולבו בתוכניות הלימודים המרכזיות. באירופה, לעומת זאת, הייתה הערכה גדולה למדעי הטבע, והתלמידים נהנו מחופש מחקרי רב יותר וכן מהגנה משפטית. העולם האסלאמי לא פיתח לא חשבון אינפיניטסימלי, לא גאומטריה אנליטית, ולא את המודל ההליוצנטרי.
בסין הייתה מערכת החינוך חלק מהבירוקרטיה הממשלתית, אשר לא עודדה לימודי מתמטיקה או מדעים, אלא שינון הספרות הקלאסית. אלו שכן עסקו בכך עשו זאת לרוב כעצמאים ונפרדים מאחרים, ללא שיתוף פעולה, ולא היו להם ממשיכים. חרף התקדמותם הרבה, היה זה, בדומה לעולם האסלאמי, למרות מערכת החינוך ולא בזכותה.
"תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה" הוא החיבור המתמטי הסיני העתיק ביותר שהשתמר, בזמן שמתמטיקאים סינים מובילים כתבו עליו פרשנויות, כגון ליאו הואי ב-263 לסה"נ. זו צ'ונג-ג'י חישב את הפאי בצורה המדויקת ביותר בעולם במאה ה-5, עד לחישוב מדויק יותר של הפרסי אל קאשי בתחילת המאה ה-15. מתמטיקאי סיני חשוב נוסף היה צ'ין ג'יושאו בן המאה ה-13, אשר מוכיח גם כן שהייתה זאת אחת התקופות הדינמיות של המתמטיקה הסינית, אשר בהחלט ידעה לפתור לא מעט בעיות אלגברה.
המלומדים הסינים התעניינו בעיקר בלפתור בעיות חשובות עבור הבירוקרטיה הסינית. היו אומנם התקדמויות מסוימות לאורך המאות, אולם ההתקדמות לא הייתה רבה עקב ההערצה הסינית לעבר. כך, אפילו שיטות לא מדויקות מתוך "תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה" המשיכו לחזור על עצמן לאורך המאות. חרף השימוש האדיר בלוחות הספירה במאה ה-13, היו להן גם לא מעט מוגבלויות, וכך לא הצליחו הסינים לפתח תאוריית משוואות כפי שפותח כמה מאות שנים מאוחר יותר במערב. לבסוף, במאה ה-16, עם הגעתו של מיסיונר ישועי בשם מטאו ריצ'י, החלה המתמטיקה המערבית להיכנס גם לסין והמסורת המקומית החלה לפנות את מקומה.
מאדהבה איש סאנגמאגרמה בן המאות ה-14 וה-15 היה מתמטיקאי מתקדם אשר הקים בדרום הודו את אסכולת קרלה לאסטרונומיה ומתמטיקה. האסכולה ביצעה אומנם קידומים מעניינים עד המאה ה-16, אולם אין שום הוכחות כי העבירה את הידע שלה למקומות או גופים אחרים. המסורת הדתית ההודית הייתה בעלת שליטה גדולה לא רק על התת יבשת אלא גם על האופי בו הועבר הידע שבעל פה. כך, בדומה לסינים, גם כאן לא נראתה התקדמות אדירה לאורך מאות השנים.[8] לא היה בהודו דחף לקשור את האסטרונומיה לתחומים אחרים כגון פיזיקה, כפי שקרה באירופה.
המתמטיקאי האסיאתי החשוב ביותר של העת החדשה היה סאקי טקאקאזו היפני בן המאות ה-17 וה-18. נולד למשפחת סמוראים, הוא היה דמות מובילה ב"ואסאן", כלומר תנועת החשבונאות היפנית. הוא היה הראשון לחקור דטרמיננטה, ובאופן עצמאי גילה את מספרי ברנולי פחות או יותר באותו הזמן כמו יאקוב ברנולי עצמו בשוויץ. עדיין, למעט מספר יוצאי דופן מהמזרח הרחוק, היה המרכז העיקרי להתפתחותה של המתמטיקה החל מהמאה ה-14 בעיקר באירופה.
על כך בפעם הבאה.

[1] Dirk J. Struik, A Concise History of Mathematics: Fourth Revised Edition, Dover Publications, 1987.
[2] Y. Tzvi Langermann and Shai Simonson, "The Hebrew Mathematical Tradition", in Helaine Selin (ed.), Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics, Springer, 2000, pp. 167-188.
[3] David C. Lindberg, The Beginnings of Western Science: The European Scientific Tradition in Philosophical, Religious, and Institutional Context, 600 B.C. to A.D. 1450, University of Chicago Press, 1992.
[4] Ibn Warraq, Leaving Islam: Apostates Speak Out, Prometheus, 2003.
[5] Michael P. Closs, "Mesoamerican Mathematics", in Helaine Selin (ed.), Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics, Springer, 2000, pp. 205-238.
[6] https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Chinese_numerals/
[7] Victor J. Katz, A History of Mathematics: An Introduction, Addison Wesley, 1998.
[8] John North, Cosmos: An Illustrated History of Astronomy and Cosmology, University of Chicago Press, 2008.